没有掌握圆周角定理在数学题目中的考点与考法

本题涉及圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即若圆心角为\(\angle AOC\)，圆周角为\(\angle ABC\)（同弧\(\overset{\frown}{AC}\)），则\(\angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle AOC\)（这里需注意弧对应的情况，本题要先处理优弧 ）。

求优弧\(\boldsymbol{\overset{\frown}{AC}}\)所对的圆心角：

已知\(\angle AOC = 150^{\circ}\)，整个圆周角为\(360^{\circ}\)，设优弧\(\overset{\frown}{AC}\)所对圆心角为\(\angle AOC'\)，则\(\angle AOC' = 360^{\circ} - 150^{\circ}\)，即\(\angle AOC' = 210^{\circ}\) 。

根据圆周角定理求\(\boldsymbol{\angle ABC}\)：

因为\(\angle ABC\)是优弧\(\overset{\frown}{AC}\)所对的圆周角，\(\angle AOC'\)是优弧\(\overset{\frown}{AC}\)所对的圆心角，由圆周角定理可知\(\angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle AOC'\) 。

把\(\angle AOC' = 210^{\circ}\)代入，可得\(\angle ABC = \dfrac{1}{2} \times 210^{\circ} = 105^{\circ}\) ，用 KaTeX 表示：\(\angle ABC = \dfrac{1}{2} \times 210^{\circ} = 105^{\circ}\) 。

综上，\(\angle ABC\)的度数为\(105^{\circ}\)，答案选\(\boldsymbol{A}\)选项。

本题答案是\(\boldsymbol{30^{\circ}}\)或\(\boldsymbol{150^{\circ}}\) ，原因在于点\(C\)的位置存在两种情况：

 情况一：点\(C\)在优弧\(\boldsymbol{\overset{\frown}{AB}}\)上

 根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半 。\(\angle AOB\)是圆心角，\(\angle ACB\)是圆周角，它们都对着弧\(\overset{\frown}{AB}\)，所以\(\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB\)  。

已知\(\angle AOB = 60^{\circ}\)，则\(\angle ACB = \frac{1}{2}\times 60^{\circ}= 30^{\circ}\) 。

 情况二：点\(C\)在劣弧\(\boldsymbol{\overset{\frown}{AB}}\)上

圆内接四边形对角互补，构造圆内接四边形\(AC'BC\)（\(C'\)是优弧\(\overset{\frown}{AB}\)上一点 ），那么\(\angle ACB + \angle AC'B = 180^{\circ}\) 。

因为前面已求出优弧\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角\(\angle AC'B = 30^{\circ}\)，所以劣弧\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角\(\angle ACB = 180^{\circ} - 30^{\circ}= 150^{\circ}\) 。

综上，由于点\(C\)在圆上的位置有在优弧和劣弧两种可能，所以\(\angle ACB\)有两个答案，分别是\(\boldsymbol{30^{\circ}}\)和\(\boldsymbol{150^{\circ}}\)。